Το Θέμα Α


Μαθηματικά   Προσανατολισμού – Το Θέμα Α

(κατεβάστε το ως αρχείο word)

Κεφάλαιο 1: Όριο συνέχεια συνάρτησης

 

  1. Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση f  με πεδίο ορισμού το Α;

Απάντηση

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα) f , με την οποία κάθε στοιχείο x ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της  f  στο x και συμβολίζεται με f(x).
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f:A\to R
Το πεδίο ορισμού συμβολίζεται {{D}_{f}}και το σύνολο τιμών f\left( A \right)

 

  1. Τι ονομάζουμε γραφική παράσταση της συνάρτησης  f ;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση f:A\to R. Η γραφική της παράταση είναι το σύνολο των σημείων M(x, y) για τα οποία ισχύει y=f\left( x \right), δηλαδή το σύνολο των σημείων M\left( x,f\left( x \right) \right)όπου x\in A.  Συμβολίζεται συνήθως με {{C}_{f}}.

 

  1. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες;

Απάντηση

Όταν

  • έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και
  • f\left( x \right)=g\left( x \right) για όλα τα x\in A

Η ισότητα δύο συναρτήσεων συμβολίζεται : f=g

 

  1. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α θα λέμε ότι :
  • Παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A (ολικό) μέγιστο,
  • Παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A (ολικό) ελάχιστο,

Απάντηση

  • Παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A (ολικό) μέγιστο, όταν f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για όλα τα x\in A
  • Παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A (ολικό) ελάχιστο, όταν f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right) για όλα τα x\in A

 

  1. Αν f:A\to R και g:B\to R, τι ονομάζουμε σύνθεση της f με την g (Συμβολίζεται g\circ f);

Απάντηση

24

Τη συνάρτηση με τύπο: (gof )(x) = g( f (x)) .

Το πεδίο ορισμού της g\circ fαποτελείται από όλα τα στοιχεία x του πεδίου ορισμού της  f  για τα οποία το f (x) ανήκει στο πεδίο ορισμού της g . Δηλαδή είναι το σύνολο : {A}'=\left\{ x\in A/f\left( x \right)\in B \right\}. Είναι φανερό ότι η g\circ fορίζεται αν f(A)∩B ≠ Ø.

 

  1. Πότε μια συνάρτηση f  λέγεται :
  • γνησίως αύξουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;
  • γνησίως φθίνουσα σ’ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

  • Γνησίως αύξουσα: όταν για οποιαδήποτε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)
  • Γνησίως φθίνουσα: όταν για οποιαδήποτε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)>f\left( {{x}_{2}} \right)

 

  1. Πότε μια συνάρτησηf:A\to R λέγεται συνάρτηση 1−1;

Απάντηση

Όταν για δύο οποιαδήποτε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in A με {{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)\ne f\left( {{x}_{2}} \right). Δηλαδή οι εικόνες δύο διαφορετικών στοιχείων του πεδίου ορισμού είναι πάντοτε διαφορετικές,

 

  1. Τι ονομάζουμε αντίστροφη της συνάρτησης f:A\to R;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση f:A\to R η οποία είναι και 1-1. Κάθε στοιχείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού ({{x}_{0}}\in {{D}_{f}}) αντιστοιχεί σε μοναδικό στοιχείο {{y}_{0}}του συνόλου τιμών ({{y}_{0}}\in f\left( A \right)). Η αντίστροφη συνάρτηση της fσυμβολίζεται {{f}^{-1}} και αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο {{y}_{0}}του συνόλου τιμών f\left( A \right)στο μοναδικό {{x}_{0}}του πεδίου ορισμού {{D}_{f}}. Το πεδίο ορισμού της {{f}^{-1}}είναι το σύνολο τιμών της fκαι το σύνολο τιμών της {{f}^{-1}} το πεδίο ορισμού της f. Δηλαδή {{f}^{-1}}:f\left( A \right)\to A. Ισχύει ότι f\left( x \right)=y\Leftrightarrow {{f}^{-1}}\left( y \right)=x

 

  1. Ποια είναι η σχέση των γραφικών παραστάσεων {{C}_{f}}και {{C}_{{{f}^{-1}}}}, αντίστοιχα;

Απάντηση

37

Οι γραφικές παραστάσεις {{C}_{f}}και {{C}_{{{f}^{-1}}}} είναι συμμετρικές ως προς  την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.

Αν ένα σημείο M(α, β) ανήκει στη γραφική παράσταση {{C}_{f}}, τότε το σημείο Μ΄(β,α) θα ανήκει στη γραφική παράσταση {{C}_{{{f}^{-1}}}}και αντίστροφα. Τα σημεία, όμως, αυτά είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy.

 

  1. Αν P(x)={{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}} είναι πολυώνυμο να αποδείξετε ότι: \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,P(x)=P\left( {{x}_{0}} \right)

Απάντηση

\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,P(x)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( {{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}{{x}^{1}}+{{a}_{0}} \right)=

=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{v}}{{x}^{v}}+\ldots +\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{1}}{{x}^{1}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{0}}=

={{a}_{v}}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{v}}+\ldots +{{a}_{1}}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{1}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{a}_{0}}=

={{a}_{v}}x_{0}^{v}+\ldots +{{a}_{1}}x_{0}^{1}+{{a}_{0}}=P({{x}_{0}})

 

  1. Να διατυπώσετε το κριτήριο της παρεμβολής.

Απάντηση

Έστω οι συναρτήσεις f,g,h. Αν

  • h\left( x \right)\le f\left( x \right)\le g(x) κοντά στο {{x}_{0}}
  • \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,{{h}_{\left( x \right)}}=\underset{x\to +0}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=l

Τότε \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l

 

  1. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση f:A\to Rκαι {{x}_{0}}\in A. Η συνάρτηση fείναι συνεχής στο {{x}_{0}}, όταν \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right)

  1. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής
  • σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β);
  • σε ένα κλειστό διάστημα [α,β];

Απάντηση

  • Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α, β), όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β).
  • Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α, β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α, β) και επιπλέον: \underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( a \right)και \underset{x\to {{\beta }^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( \beta \right)

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano

Απάντηση

64

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

  • η f είναι συνεχής στο [α, β] και
  •     \[f\left( \alpha \right)\cdot f\left( b \right)<0\]

    .

τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, {{x}_{0}}\in \left( a,\beta  \right)) τέτοιο, ώστε f\left( {{x}_{0}} \right)=0.

Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης f\left( x \right)=0 στο ανοικτό διάστημα \left( \alpha ,\beta  \right) .

 

  1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών (ΘΕΤ)

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α, β]. Αν:

  • η f είναι συνεχής στο [α, β] και
  •     \[f\left( \alpha \right)\ne f\left( b \right)\]

    .

τότε για κάθε αριθμό  \etaμεταξύ των f\left( \alpha  \right)  και f\left( \beta  \right) υπάρχει ένας, τουλάχιστον {{x}_{0}}\in \left( a,\beta  \right)τέτοιος, ώστε f\left( {{x}_{0}} \right)=\eta.

Απόδειξη

Αφού

    \[f\left( \alpha  \right)\ne f\left( b \right)\]

τότε είτε 

    \[f\left( \alpha  \right)<f\left( b \right)\]

είτε

    \[f\left( \alpha  \right)>f\left( b \right)\]

. Επιλέγουμε τυχαία μία από τις σχέσεις , έστω

    \[f\left( \alpha  \right)<f\left( b \right)\]

. Άρα f\left( \alpha  \right)<\eta <f\left( \beta  \right). Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g\left( x \right)=f\left( x \right)-\eta, x\in \left[ a,\beta  \right], παρατηρούμε ότι πληροί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος του Bolzano:

  • η g είναι συνεχής στο [α, β] και
  • g\left( \alpha \right)\cdot g\left( b \right)=\left( f\left( \alpha  \right)-n \right)\cdot \left( f\left( \beta  \right)-\eta  \right)<0 .

Επομένως, υπάρχει {{x}_{0}}\in \left( a,\beta  \right) τέτοιο, ώστε g\left( {{x}_{0}} \right)=0\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)-\eta =0\Rightarrow f\left( {{x}_{0}} \right)=\eta

67

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα της Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής

Απάντηση

Έστω f συνεχής συνάρτηση στο \left[ \alpha ,\beta  \right] , τότε η f παίρνει στο \left[ \alpha ,\beta  \right]μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m.

max_min

 

Κεφάλαιο 2 : Διαφορικός Λογισμός

 

  1. Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη της {{C}_{f}} στο σημείο της A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)

Απάντηση

Έστω f μια συνάρτηση και A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right) ένα σημείο της {{C}_{f}} . Αν υπάρχει το \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}  και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της {{C}_{f}}στο σημείο της Α, την ευθεία ε που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ.

H εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right) είναι:

y-f\left( {{x}_{0}} \right)=\lambda \left( x-{{x}_{0}} \right) όπου  \lambda =\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση fείναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού  της;

Απάντηση

Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο {{x}_{0}} του πεδίου ορισμού της αν υπάρχει το \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}  και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο {{x}_{0}} και συμβολίζεται

    \[{{f}^{\prime }}({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

.

Ισχύει ότι :

    \[{{f}^{\prime }}({{x}_{0}})=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\]

 

  1. Να αποδείξετε ότι: Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο {{x}_{0}},  τότε

είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

Απόδειξη

Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\left( x-{{x}_{0}} \right) , οπότε

    \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right))=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,(\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\left( x-{{x}_{0}} \right))=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{\left( x-{{x}_{0}} \right)}\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\left( x-{{x}_{0}} \right)={{f}^{\prime }}({{x}_{0}})\cdot 0=0\]

Άρα \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=f\left( {{x}_{0}} \right) δηλ. η f είναι συνεχής στο {{x}_{0}} .

 

  1. Έστω μία σταθερή συνάρτηση f(x) = c, c ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( c \right)}^{\prime }}=0,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο {{x}_{0}}\in R. Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει {f}'\left( x \right)={{\left( c \right)}^{\prime }}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{C-C}{x-{{x}_{0}}}=0

 

  1. Έστω η συνάρτηση f(x) = x, x ϵ R. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=1,

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο {{x}_{0}}\in R. Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει {f}'\left( x \right)={{\left( x \right)}^{\prime }}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-{{x}_{0}}}{x-{{x}_{0}}}=1

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)={{x}^{v}}, v\in N-\left\{ 0,1 \right\}. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{v}} \right)}^{\prime }}=v{{x}^{v-1}},

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο {{x}_{0}}\in R. Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει

    \[{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{\nu }} \right)}^{\prime }}=\lim \frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{\nu }}-{{x}_{0}}^{\nu }}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-{{x}_{0}})({{x}^{\nu -1}}+{{x}^{\nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1})}{x-{{x}_{0}}}=\]

    \[\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,({{x}^{\nu -1}}+{{x}^{\nu -2}}{{x}_{0}}^{1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1})={{x}_{0}}^{\nu -1}+{{x}_{0}}^{\nu -1}+...+{{x}_{0}}^{\nu -1}=\nu {{x}_{0}}^{\nu -1}\]

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)=\sqrt{x}, x\in [0,+\infty ). Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty ) και ισχύει{f}'\left( x \right)=(\sqrt{x}{)}'=\frac{1}{2\sqrt{x}},

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο {{x}_{0}}\in (0,+\infty ). Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει

    \[{f}'\left( x \right)=(\sqrt{x}{)}'=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x}-\sqrt{{{x}_{0}}}}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{{{x}_{0}}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}{(x-{{x}_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=\]

    \[=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{(x-{{x}_{0}})}{(x-{{x}_{0}})(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{(\sqrt{x}+\sqrt{{{x}_{0}}})}=\frac{1}{2\sqrt{{{x}_{0}}}}\]

 

  1. Αν οι συναρτήσεις f,gείναι παραγωγίσιμες στο{{x}_{0}}, τότε η συνάρτησηf+g είναι παραγωγίσιμη στο {{x}_{0}} και ισχύει, {{\left( f+g \right)}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)={f}'\left( {{x}_{0}} \right)+{g}'\left( {{x}_{0}} \right)

Απόδειξη

 

Έστω τυχαίο {{x}_{0}}\in (0,+\infty ). Για x\ne {{x}_{0}} ισχύει

    \[{{\left( f+g \right)}^{\prime }}\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( f+g \right)\left( x \right)-\left( f+g \right)\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)+g(x)-f\left( {{x}_{0}} \right)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\]

    \[=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)+g(x)-g({{x}_{0}})}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}+\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g\left( x \right)-g\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}={f}'\left( {{x}_{0}} \right)+{g}'\left( {{x}_{0}} \right)\]

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)={{x}^{-v}}, v\in {{N}^{*}}. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο {{R}^{*}} και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{-v}} \right)}^{\prime }}=-v{{x}^{-v-1}},

Απόδειξη

 

Για κάθε  x\in {{R}^{*}} ισχύει

{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{-v}} \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{1}{{{x}^{v}}} \right)}^{\prime }}=\frac{(1{)}'{{x}^{\nu }}-1({{x}^{\nu }}{)}'}{{{({{x}^{\nu }})}^{2}}}=\frac{-\nu {{x}^{\nu -1}}}{{{x}^{2\nu }}}=-\nu {{x}^{-\nu -1}}

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)=\varepsilon \varphi x, v\in {{N}^{*}}. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R-\{x|\sigma \upsilon \nu x=0\} και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( \varepsilon \varphi x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x},

Απόδειξη

 

Για κάθε  x\in R-\{x|\sigma \upsilon \nu x=0\} ισχύει

{f}'\left( x \right)={{\left( \varepsilon \varphi x \right)}^{\prime }}={{\left( \frac{\eta \mu x}{\sigma \upsilon \nu x} \right)}^{\prime }}=\frac{(\eta \mu x{)}'\sigma \upsilon \nu x-\eta \mu x(\sigma \upsilon \nu x{)}'}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=\frac{\sigma \upsilon \nu x\cdot \sigma \upsilon \nu x+\eta \mu x\cdot \eta \mu x}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=

=\frac{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x+\eta {{\mu }^{2}}x}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}=\frac{1}{\sigma \upsilon {{\nu }^{2}}x}

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)={{x}^{\alpha }}, \alpha \in R-Z. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο (0,+\infty ) και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{\alpha }} \right)}^{\prime }}=\alpha {{x}^{\alpha -1}},

Απόδειξη

Για x>0 ισχύει:

{f}'\left( x \right)={{\left( {{x}^{a}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\ln {{x}^{a}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\alpha \ln x}} \right)}^{\prime }}=(\alpha \ln x{)}'\left( {{e}^{\alpha \ln x}} \right)=

=\frac{\alpha }{x}\left( {{e}^{\ln {{x}^{\alpha }}}} \right)=\frac{\alpha }{x}{{x}^{a}}=a{{x}^{a-1}}

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)={{\alpha }^{x}}, \alpha >0. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha,

Απόδειξη

 

Για κάθε x  ισχύει

{f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{\ln {{\alpha }^{x}}}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{e}^{x\ln \alpha }} \right)}^{\prime }}=(x\ln \alpha {)}'\left( {{e}^{x\ln \alpha }} \right)=

=\ln \alpha \left( {{e}^{\ln {{\alpha }^{x}}}} \right)=\ln \alpha \cdot {{\alpha }^{x}}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha

 

  1. Έστω η συνάρτηση f\left( x \right)=\ln \left| x \right|,\,\,x\in {{R}^{*}}. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο {{R}^{*}} και ισχύει{f}'\left( x \right)={{\left( {{\alpha }^{x}} \right)}^{\prime }}={{\alpha }^{x}}\ln \alpha,

Απόδειξη

 

Για κάθε   ισχύει

  • Αν x>0 ,τότε {f}'\left( x \right)={{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \ln x \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}
  • Αν x<0 ,τότε {f}'\left( x \right)={{\left( \ln \left| x \right| \right)}^{\prime }}={{\left( \ln (-x) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{-x}(-x{)}'=\frac{1}{x}

 

 

  1. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y=f\left( x \right) ως προς το x στο σημείο {{x}_{0}}

Απάντηση

Αν δύο μεταβλητά μεγέθη  x , y  συνδέονται με τη σχέση  y=f\left( x \right) , όπουf  είναι μια συνάρτηση παραγωγίσιμη στο  {{x}_{0}}, τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το x στο σημείο {{x}_{0}}  την παράγωγο {f}'\left( {{x}_{0}} \right).

 

 

  1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα του Rolle και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση fγια την οποία ισχύει:

  • Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
  • Παραγωγίσιμη στο (α,β)
  • f\left( \alpha \right)=f\left( \beta  \right)

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi \in \left( \alpha ,\beta  \right) τέτοιο ώστε {f}'\left( \xi  \right)=0

Γεωμετρική ερμηνεία

Rolle

Γεωμετρικά,   αυτό  σημαίνει  ότι  υπάρχει  ένα, τουλάχιστον, \xi \in \left( \alpha ,\beta  \right) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη  της  {{C}_{f}} στο σημείο \Mu \left( \xi ,f\left( \xi  \right) \right)να είναι παράλληλη στον άξονα των x.

 

  1. Να διατυπώσετε το Θεώρημα της Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση fγια την οποία ισχύει:

  • Ότι είναι συνεχής στο [α,β]
  • Παραγωγίσιμη στο (α,β)

τότε συνεπάγεται ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα \xi \in \left( \alpha ,\beta  \right) τέτοιο ώστε {f}'\left( \xi  \right)=\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }

Γεωμετρική ερμηνεία

TMT

Γεωμετρικά,   αυτό  σημαίνει  ότι  υπάρχει  ένα, τουλάχιστον, \xi \in \left( \alpha ,\beta  \right) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη  της  {{C}_{f}} στο σημείο \Mu \left( \xi ,f\left( \xi  \right) \right)να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ.

 

  1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν
  • η f είναι συνεχής στο Δ και
  • {f}'\left( x \right)=0 για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ.

Απόδειξη

Πρέπει να δείξουμε ότι για δύο οποιαδήποτε {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta ισχύει f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right).

  • Αν {{x}_{1}}={{x}_{2}}τότε προφανώς f\left( {{x}_{1}} \right)=f\left( {{x}_{2}} \right)
  • Αν {{x}_{1}}>{{x}_{2}}τότε η συνάρτηση fικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα \left[ {{x}_{2}},{{x}_{1}} \right], άρα υπάρχει \xi \in \left( {{x}_{2}},{{x}_{1}} \right) ώστε {f}'\left( \xi  \right)=\frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\Rightarrow 0=\frac{f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\Rightarrow 0=f({{x}_{1}})-f({{x}_{2}})\Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})
  • Αν {{x}_{1}}<{{x}_{2}}τότε η συνάρτηση fικανοποιεί τις υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα \left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right], άρα υπάρχει \xi \in \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right) ώστε {f}'\left( \xi \right)=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\Rightarrow 0=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}\Rightarrow 0=f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})\Rightarrow f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})

 

  1. Έστω δύο συναρτήσεις f,g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν
  • η f,g είναι συνεχείς στο Δ και
  • {f}'\left( x \right)={g}'\left( x \right) για κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σημείο x του Δ,

τότε να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά c ώστε για κάθε x\in \Deltaνα ισχύει f\left( x \right)=g\left( x \right)+c.

Απόδειξη

TMT_2

Έστω η συνάρτηση h\left( x \right)=f\left( x \right)-g\left( x \right) για την οποία ισχύουν τα ακόλουθα:

  • h\left( x \right)συνεχής στο Δ
  • {h}'\left( x \right)={f}'\left( x \right)-{g}'\left( x \right)=0

Δηλ. ικανοποιεί τις υποθέσεις του προηγούμενου θεωρήματος άρα υπάρχει σταθερά c ώστε  h\left( x \right)=c\Rightarrow f\left( x \right)=g\left( x \right)+c

 

  1. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι σ υ ν ε χ ή ς σε ένα διάστημα Δ.
  • Αν {f}'\left( x \right)>0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ.
  • Αν {f}'\left( x \right)<0 σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό  σημείο x του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η  f  είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.

Απόδειξη

Έστω {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \Delta με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}. Στο διάστημα \left[ {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right] η συνάρτηση fικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ επομένως υπάρχει \xi \in \left( {{x}_{1}},{{x}_{2}} \right) τέτοιο ώστε :  {f}'\left( \xi  \right)=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}         (1)

  • Αν {f}'\left( x \right)>0 τότε από (1) έχουμε \frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}>0\Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})>0\Rightarrow f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}}) αφού {{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα \uparrow.
  • Αν {f}'\left( x \right)<0 τότε από (1) έχουμε \frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}<0\Rightarrow f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})<0\Rightarrow f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}}) αφού {{x}_{2}}-{{x}_{1}}>0. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα \downarrow .

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A τοπικό μέγιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση fμε πεδίο ορισμού Α.  θα λέμε ότι παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A τοπικό μέγιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για κάθε x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right) .

Το {{x}_{0}}   λέγεται θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, ενώ το  f\left( {{x}_{0}} \right) τοπικό μέγιστο της f.

 

  1. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού Α παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A τοπικό ελάχιστο;

Απάντηση

Έστω συνάρτηση fμε πεδίο ορισμού Α.  θα λέμε ότι παρουσιάζει στο {{x}_{0}}\in A τοπικό ελάχιστο, όταν υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right) για κάθε x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right) .

Το {{x}_{0}}   λέγεται θέση ή σημείο τοπικού ελαχίστου, ενώ το  f\left( {{x}_{0}} \right) τοπικό ελάχιστο της f.

 

  1. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat και να το αποδείξετε.

Απάντηση

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ και{{x}_{0}}  ένα  εσωτερικό  σημείο του Δ. Αν η  f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο {{x}_{0}}και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0.

Απόδειξη

Έστω ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο {{x}_{0}}, τότε υπάρχει δ>0 , τέτοιο ώστε f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για κάθε x\in A\cap \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta  \right) .

Επίσης η f είναι παραγωγίσιμη στο {{x}_{0}} άρα {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}=\underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}} .

Για x\in \left( {{x}_{0}},{{x}_{0}}+\delta  \right)ισχύει \frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\le 0 άρα \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\le 0    (1)

Για x\in \left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}} \right)ισχύει \frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\ge 0 άρα \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)-f\left( {{x}_{0}} \right)}{x-{{x}_{0}}}\ge 0   (2)

Από (1) και (2) ισχύει {f}'\left( {{x}_{0}} \right)=0

Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν η fπαρουσιάζει τοπικό ελάχιστο.

 

  1. Έστω μια συνάρτηση fπαραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του{{x}_{0}}, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι:
    • Αν {f}'\left( x \right)>0 στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)  και   {f}'\left( x \right)<0 στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right) , τότε το  f\left( {{x}_{0}} \right)  είναι τοπικό μέγιστο της f.
    • Αν {f}'\left( x \right)<0 στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)  και   {f}'\left( x \right)>0 στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right) , τότε το  f\left( {{x}_{0}} \right)  είναι τοπικό ελάχιστο της f.

iii)  Aν η  {f}'\left( x \right)  διατηρεί πρόσημο στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup \left( {{x}_{0}},\beta  \right) , τότε το  f\left( {{x}_{0}} \right)  δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο \left( \alpha ,\beta  \right)

Απόδειξη

  1. {f}'\left( x \right)>0 στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right) και η f συνεχής στο {{x}_{0}}, άρα είναι γνησίως αύξουσα στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right], δηλ f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]. (1)
    {f}'\left( x \right)<0 στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right) και η f συνεχής στο {{x}_{0}}, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right], δηλ f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για x\in \left( {{x}_{0}},\beta  \right].     (2)

35a

 

Από (1) και (2) έχουμε f\left( x \right)\le f\left( {{x}_{0}} \right) για κάθε

    \[x\in (\alpha ,\beta )\]

  1. {f}'\left( x \right)<0 στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right) και η f συνεχής στο {{x}_{0}}, άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right], δηλ f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right) για x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right]. (3)
    {f}'\left( x \right)>0 στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right) και η f συνεχής στο {{x}_{0}}, άρα είναι γνησίως αύξσουσα στο \left( {{x}_{0}},\beta  \right], δηλ f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right) για x\in \left( {{x}_{0}},\beta  \right].     (4)

35c

Από (3) και (4) έχουμε f\left( x \right)\ge f\left( {{x}_{0}} \right) για κάθε

    \[x\in (\alpha ,\beta )\]

  • Έστω ότι {f}'\left( x \right)>0 για x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup ({{x}_{0}},\beta ). Επειδή η f συνεχής στο {{x}_{0}} συνεπάγεται ότι είναι γνησίως αύξουσα στο (\alpha ,{{x}_{0}}] και στο [{{x}_{0}},\beta ). Επομένως για {{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{0}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right).
    Άρα το f\left( {{x}_{0}} \right) δεν είναι τοπικό ακρότατο.  Θα δείξουμε ότι η fείναι γνησίως αύξουσα στο \left( \alpha ,\beta  \right). Έστω {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( \alpha ,\beta  \right) με {{x}_{1}}<{{x}_{2}}
  • Αν {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right) αφού f\uparrow στο(\alpha ,{{x}_{0}}]
  • Αν {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( {{x}_{0}},\beta \right)\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right) αφού f\uparrow στο [{{x}_{0}},\beta )
  • Αν {{x}_{1}}<{{x}_{0}}<{{x}_{2}}\Rightarrow f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{0}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right)

35b

Σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f\left( {{x}_{1}} \right)<f\left( {{x}_{2}} \right). Ανάλογη είναι η απόδειξη εάν {f}'\left( x \right)<0 για x\in \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right)\cup ({{x}_{0}},\beta ).

 

  1. Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση fορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ:
    1. στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ;
    2. στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

  • f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
  • παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση   f   στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η  f΄  είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ.

Η συνάρτηση  f   στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η  f΄  είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.

  1. Πως σχετίζεται η δεύτερη παράγωγος μιας συνάρτησης f με την κυρτότητά της;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτηση

  • f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και
  • δύο φορές παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.

Αν {f}''\left( x \right)>0για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f  είναι κυρτή στο Δ.

Αν  {f}''\left( x \right)<0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f  είναι κοίλη στο Δ.

 

  1. Πότε το σημείο A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f;

Απάντηση

Έστω μία συνάρτησηf παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα \left( \alpha ,\beta  \right) , με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του  {{x}_{0}}. Αν

  • η f είναι κυρτή στο \left( \alpha ,{{x}_{0}} \right) και κοίλη στο\left( {{x}_{0}},\beta \right), ή αντιστρόφως, και
  • η {{C}_{f}}έχει εφαπτόμενη στο σημείο A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right),

τότε το σημείο A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right)  ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f

 

  1. Αν το A\left( {{x}_{0}},f\left( {{x}_{0}} \right) \right) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη ποια είναι η τιμή της {f}''\left( {{x}_{0}} \right);

Απάντηση

Ισχύει ότι {f}''\left( {{x}_{0}} \right)=0.

 

  1. Τι ονομάζουμε κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f;

Απάντηση

Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια \underset{x\to {{x}_{0}}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) ή \underset{x\to {{x}_{0}}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right) είναι +\inftyή -\infty, τότε η ευθεία x={{x}_{0}} λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.

 

  1. Τι ονομάζουμε οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty (αντίστοιχα στο -\infty);

Απάντηση

Αν \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l (αντιστοίχως \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=l), τότε η ευθεία y=l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της fστο +\infty (αντίστοιχα στο -\infty).

 

  1. Πότε λέμε ότι ευθεία y=\lambda x+\beta λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της fστο +\infty(αντιστοίχως στο -\infty);

Απάντηση

Αν \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f\left( x \right)-(\lambda x+\beta )]=0 (αντιστοίχως αν \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[f\left( x \right)-(\lambda x+\beta )]=0).

 

  1. Να διατυπώσετε τους κανόνες του de l’ Hospital;

Απάντηση

Κανόνας 1 \left( \frac{0}{0} \right):

Αν  \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0 και \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0, όπου {{x}_{0}}\in R\cup \left\{ -\infty ,+\infty  \right\}και υπάρχει το \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}(πεπερασμένο ή άπειρο) τότε \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}

Κανόνας 1 \left( \frac{\infty }{\infty } \right):

Αν  \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty και \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty, όπου {{x}_{0}}\in R\cup \left\{ -\infty ,+\infty  \right\}και υπάρχει το \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}(πεπερασμένο ή άπειρο) τότε \underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{f}'\left( x \right)}{{g}'\left( x \right)}

 

 

Κεφάλαιο 3 : Ολοκληρωτικός  Λογισμός

  1. Τι ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο Δ;

Απάντηση

Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της fστο Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει {F}'\left( x \right)=f\left( x \right),  για κάθε  x\in \Delta.

 

  1. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Fείναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι:
  • όλες οι συναρτήσεις της μορφής G\left( x \right)=F\left( x \right)+c, όπου c\in R , είναι παράγουσες της f στο Δ και
  • κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G\left( x \right)=F\left( x \right)+c, c\in R.

 

Απάντηση

  • {G}'\left( x \right)={{\left( F\left( x \right)+C \right)}^{\prime }}={F}'\left( x \right)=f\left( x \right)
  • Έστω G μια άλλη παράγουσα της f. Τότε για x\in \Deltaισχύει:

        \left. <span class="ql-right-eqno"> (1) </span><span class="ql-left-eqno">   </span><img src="https://ragoussis.com/zenos/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9bd2a6be20df70d890915c704d900d2c_l3.png" height="74" width="212" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\begin{align*}</li>  	<li>& {G}'\left( x \right)=f\left( x \right) \\</li>  	<li>& {F}'\left( x \right)=f\left( x \right) \\</li>  	<li>\end{align*}" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \right\}\Rightarrow G\left( x \right)={F}'\left( x \right)\Rightarrow G\left( x \right)=F\left( x \right)+c

  1. Να συμπληρώσετε τα κενά στις επόμενες ισότητες-ανισότητες, ώστε να προκύψουν αληθείς σχέσεις:
  • \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=.......\underset{\beta }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x
  • \underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=.......
  • Έστω συνεχής συνάρτηση f:\left[ \alpha ,\beta  \right]\to R. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x\in \left[ \alpha ,\beta  \right] τότε 

        \[\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x.......\]

  • Έστω συνεχής συνάρτηση f:\left[ \alpha ,\beta  \right]\to R. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x\in \left[ \alpha ,\beta  \right] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε  \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x\,.......

 

Απάντηση

  • \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=-\underset{\beta }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x
  • \underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=0
  • Έστω συνεχής συνάρτηση f:\left[ \alpha ,\beta  \right]\to R. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x\in \left[ \alpha ,\beta  \right] τότε  \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x\ge 0
  • Έστω συνεχής συνάρτηση f:\left[ \alpha ,\beta  \right]\to R. Αν f(x) ≥ 0 για κάθε x\in \left[ \alpha ,\beta  \right] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε  \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x>0

 

  1. Τι παριστάνει γεωμετρικά το : \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x, όταν f\left( x \right)\ge 0;

 

Απάντηση

11

Αν f\left( x \right)\ge 0 για κάθεx\in \left[ a,\beta  \right], τότε το ολοκλήρωμα \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x δίνει το εμβαδόν Ε(Ω) του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f τον άξονα x΄x και τις ευθείες x = α και x = β .

Ισχύει \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=\Epsilon (\Omega )

 

  1. Τι παριστάνει γεωμετρικά το \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,\text{cd}x, αν c>0;

Απάντηση

Εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου με βάση β − α και ύψος c .

 

  1. Θεώρημα. Αν f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x, x\in \Delta είναι μια παράγουσα της f στο Δ. Δηλαδή ισχύει {{\left( \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x \right)}^{\prime }}=f\left( x \right)

 

  1. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού.

Απάντηση

Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ’ ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε ισχύει \underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=G(\alpha )-G(\beta ).

Απόδειξη

Από προηγούμενο Θεώρημα έχουμε ότι η F\left( x \right)=\underset{0}{\overset{x}{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x είναι μία παράγουσα της fστο [α,β].

Όμως και η G είναι μία παράγουσα της fστο [α,β]. Άρα G(x)=F\left( x \right)+c  (1)  για κάποιο c\in R .

Για x=α  η (1)γίνεται:

    \[G(\alpha )=F\left( \alpha  \right)+c\Rightarrow G(\alpha )=\underset{\alpha }{\overset{\alpha }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x+c\Rightarrow G(\alpha )=c\]

, οπότε η (1) γράφεται G(x)=F\left( x \right)+G(\alpha )\Rightarrow F\left( x \right)=G(x)-G(\alpha ).

Αν θέσουμε x=β η τελευταία εξίσωση γράφεται F\left( \beta  \right)=G(\beta )-G(\alpha )\Rightarrow \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right)\text{d}x=G\left( \beta  \right)-G\left( \alpha  \right)

  1. Ποιος είναι ο τύπος της ολοκλήρωσης κατά παράγοντες για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω {f}', {g}' δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( x \right){g}'\left( x \right)\text{d}x=\left[ f\left( x \right)g\left( x \right) \right]_{\alpha }^{\beta }-\underset{\alpha }{\overset{b}{\mathop \int }}\,{f}'(x)g\left( x \right)\text{d}x

 

  1. Ποιος είναι ο τύπος ολοκλήρωσης με αλλαγή μεταβλητής για το ορισμένο ολοκλήρωμα.

Απάντηση

Έστω f, {g}' δύο συνεχής συναρτήσεις στο [α,β], τότε ισχύει \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,f\left( g(x) \right){g}'\left( x \right)\text{d}x=\underset{g(\alpha )}{\overset{g(\beta )}{\mathop \int }}\,f(u)du

  1. Ποιο είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των συνεχών συναρτήσεων f , g και τις ευθείες x = α και x = β;

Απάντηση

    \[\Epsilon (\Omega )=\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\mathop \int }}\,|f\left( x \right)-g\left( x \right)\text{ }\!\!|\!\!\text{  d}x\]

.