Τυπολόγιο Α & Β Λυκείου


ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Α’ & Β’ ΛΥΚΕΙΟΥ

(για να το κατεβάσετε σε μορφή word πατήστε εδώ)

Τα Σύνολα Αριθμών

Number_sets

Ν: Φυσικοί αριθμοί: \left\{ 0,1,2,3,... \right\}

Ζ: Ακέραιοι αριθμοί: \left\{ ...\,,-3,-2,-1,0,1,2,3,... \right\}

Q: Ρητοί αριθμοί: Όσοι μπορούν να γραφούν σαν κλάσμα ακέραιων αριθμών. Π.χ. -2,\,\,\frac{2}{3},\,\,5,\overline{9}

Q’ Άρρητοι αριθμοί: Οι αριθμοί που δεν είναι ρητοί, δηλ.  έχουν άπειρα μη περιοδικά  δεκαδικά ψηφία όπως είναι ο π και ο e.

R: Πραγματικοί αριθμοί: ΟΛΟΙ

Τα σύνολα χωρίς το 0 αναπαρίστανται με αστεράκι: Ν*, Ζ*, …

 

Ιδιότητες Πρόσθεσης και Πολλαπλασιασμού

Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α+β=β+α αβ=βα
Προσεταιριστική (α+β)+γ=α+(β+γ) (αβ)γ=α(βγ)
Ουδέτερο στοιχείο α+0=α α∙1=α
Αντίθετος/ Αντίστροφος α+(-α)=0 α∙ (1/α)=1, α≠0
Επιμεριστική α(β+γ)=αβ+αγ

* Η Αντιμεταθετική ιδιότητα (αλλαγή θέσης στους όρους της πράξης) ισχύει για τις πράξει  πρόσθεση και πολλαπλασιασμό µόνο.

  • \alpha =\beta \text{ }\kappa \alpha \iota \text{ }\gamma =\delta \text{ }=>\text{ }\alpha +\gamma =\beta +\delta
  • \alpha =\beta \text{ }\kappa \alpha \iota \text{ }\gamma =\delta \text{ }=>\text{ }\alpha \cdot \gamma =\beta \cdot \delta
  • \alpha =\beta \Leftrightarrow \alpha +\gamma =\beta +\gamma
  • \alpha =\beta \Leftrightarrow \alpha \gamma =\beta \gamma ,\,\,\,\gamma \iota \alpha \text{ }\gamma \ne 0
  • \alpha \cdot \beta =0\Leftrightarrow \alpha =0 ή \beta =0

 

Ιδιότητες Αναλογιών

  • \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\gamma }=\frac{\beta }{\delta }\Leftrightarrow \frac{\delta }{\gamma }=\frac{\beta }{\alpha }\Leftrightarrow \alpha \cdot \delta =\beta \cdot \gamma
  • \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }\Leftrightarrow \frac{\alpha +\beta }{\beta }=\frac{\gamma +\delta }{\delta }
  • \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta \pm \alpha }=\frac{\gamma }{\delta \pm \gamma }
  • \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\gamma }{\delta }=\frac{\alpha +\gamma }{\beta +\delta }\Leftrightarrow \frac{\alpha }{\beta }=\frac{\kappa \alpha \pm \lambda \gamma }{\kappa \beta \pm \lambda \delta }

 

Δυνάμεις

  • {{\alpha }^{\nu }}=\underbrace{\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha ...\alpha }_{\nu \varphi o\rho \varsigma }, για \nu \ge 1
  • {{\alpha }^{-\nu }}=\frac{1}{{{\alpha }^{\nu }}}
  • {{\alpha }^{0}}=1
  • {{\alpha }^{\kappa }}{{\alpha }^{\lambda }}={{\alpha }^{\kappa +\lambda }}
  • {{\alpha }^{\kappa }}{{\beta }^{\kappa }}={{(\alpha \beta )}^{\kappa }}
  • \frac{{{\alpha }^{\kappa }}}{{{\alpha }^{\lambda }}}={{\alpha }^{\kappa -\lambda }}
  • \frac{{{\alpha }^{\kappa }}}{{{\beta }^{\kappa }}}={{\left( \frac{\alpha }{\beta } \right)}^{\kappa }}
  • {{\left( {{\alpha }^{\kappa }} \right)}^{\lambda }}={{\alpha }^{\kappa \lambda }}
  • {{a}^{\frac{\mu }{\nu }}}=\sqrt[\nu ]{{{\alpha }^{\mu }}}

 

Ταυτότητες

  • {{\left( \alpha \pm \beta \right)}^{2}}={{\alpha }^{2}}\pm 2\alpha \beta +{{\beta }^{2}}
  • {{\alpha }^{2}}-{{\beta }^{2}}=\left( \alpha +\beta \right)\left( \alpha -\beta  \right)
  • {{\left( \alpha \pm \beta \right)}^{3}}={{\alpha }^{3}}\pm 3{{\alpha }^{2}}\beta +3\alpha {{\beta }^{2}}\pm {{\beta }^{3}}
  • {{\alpha }^{3}}\pm {{\beta }^{3}}=\left( \alpha \pm \beta \right)\left( {{\alpha }^{2}}\mp \alpha \beta +{{\beta }^{2}} \right)
  • {{\left( \alpha +\beta +\gamma \right)}^{2}}={{\alpha }^{2}}+{{\beta }^{2}}+{{\gamma }^{2}}+2\alpha \beta +2\alpha \gamma +2\beta \gamma

 

Ανισότητες

  • x>yκαι y>z\Rightarrow x>z                 Μεταβατική Ιδιότητα
  • x>y\Leftrightarrow x+\alpha >y+\alpha
  • x>y\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \lambda x>\lambda y,\,\lambda >0  \\   \lambda x<\lambda y,\,\lambda <0  \\ \end{matrix} \right.
  • \alpha >\beta και x>y\Rightarrow \alpha +x>\beta +y                 Πρόσθεση κατά μέλη
  • \alpha >\beta >0 και x>y>0\Rightarrow \alpha x>\beta y                 Πολλαπλασιασμός κατά μέλη
  • \alpha >\beta \Rightarrow {{\alpha }^{2\nu +1}}>{{\beta }^{2\nu +1}}
  • Αν \alpha >\beta >0\Rightarrow {{\alpha }^{2\nu }}>{{\beta }^{2\nu }}                 Ισχύει για θετικούς μόνο
  • Αν \alpha \beta >0 και \alpha >\beta \Rightarrow \,\frac{1}{\alpha }<\frac{1}{\beta }                 Ισχύει για ομόσημους αριθμούς
  • Αν \alpha >\beta >0\,\Rightarrow \,\sqrt[\nu ]{\alpha }>\sqrt[\nu ]{\beta }

Απόλυτες Τιμές

  • \left| x \right|=\left\{ \begin{matrix} x,\,x\ge 0  \\   -x,\,x<0  \\ \end{matrix} \right.
  • \left| x \right|\ge 0
  • \left| x \right|\ge x
  • \left| x \right|=\left| -x \right|
  • {{\left| x \right|}^{2\nu }}={{x}^{2\nu }}
  • \left| xy \right|=\left| x \right|\left| y \right|
  • \left| {{x}^{\nu }} \right|={{\left| x \right|}^{\nu }}
  • \left| \frac{x}{y} \right|=\frac{\left| x \right|}{\left| y \right|}
  • \left| x \right|=\left| y \right|\Leftrightarrow x=\pm y
  • Αν \theta >0και \left| x \right|=\theta \Leftrightarrow x=\pm \theta
  • Αν \theta >0και \left| x \right|<\theta \Leftrightarrow -\theta <x<+\theta
  • Αν \theta >0και \left| x \right|>\theta \Leftrightarrow x<-\theta x>\theta
  • \left| \left| x \right|-\left| y \right| \right|\le \left| x\pm y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|

 

Ρίζες

  • \sqrt[2\nu +1]{{{\alpha }^{2\nu +1}}}=\alpha
  • \sqrt[2\nu ]{{{\alpha }^{2\nu }}}=\left| \alpha \right|
  • \sqrt[\nu ]{\alpha }\sqrt[\nu ]{\beta }=\sqrt[\nu ]{\alpha \beta }
  • \frac{\sqrt[\nu ]{\alpha }}{\sqrt[\nu ]{\beta }}=\sqrt[\nu ]{\frac{\alpha }{\beta }}
  • \sqrt[\nu ]{\sqrt[\mu ]{\alpha }}=\sqrt[\nu \mu ]{\alpha }
  • Αν \alpha >\beta >0\,\Rightarrow \,\sqrt[\nu ]{\alpha }>\sqrt[\nu ]{\beta }

 

 

Επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού (αx2+βx+γ=0, α≠0)

Έστω Δ=β2-4αγ. Αν

  • Δ>0, τότε έχει δύο ρίζες {{x}_{1,2}}=\frac{-\beta \pm \sqrt{\Delta }}{2\alpha }
  • Δ=0, τότε έχει μία διπλή ρίζα {{x}_{1,2}}=\frac{-\beta }{2\alpha }
  • Δ<0, τότε δεν έχει καμία ρίζα στο R

Παραγοντοποίηση εξίσωσης 2ου βαθμού (αx2+βx+γ, α≠0)

Έστω Δ=β2-4αγ. Αν

  • Δ>0, τότε \alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma =\alpha (x-{{x}_{1}})(x-{{x}_{2}})
  • Δ=0, τότε \alpha {{x}^{2}}+\beta x+\gamma =\alpha {{(x-{{x}_{1}})}^{2}}
  • Δ<0, τότε δεν παραγοντοποιείται

Πρόσημο τριωνύμου (αx2+βx+γ, α≠0)

Το τριώνυμο σε όλες τις περιπτώσεις  είναι ομόσημο του α εκτός από μία: όταν Δ>0 και το x παίρνει τιμές μεταξύ των δύο ριζών.

 

Πρόοδοι

Αριθμητική πρόοδος Γεωμετρική πρόοδος
ν-οστός όρος {{\alpha }_{\nu }}={{\alpha }_{1}}+\left( \nu -1 \right)\omega {{\alpha }_{\nu }}={{\alpha }_{1}}{{\lambda }^{\nu -1}}
α,β,γ διαδοχικοί όροι \beta =\frac{\alpha +\gamma }{2} {{\beta }^{2}}=\alpha \gamma
Άθροισμα ν πρώτων όρων {{S}_{\nu }}=\frac{\nu }{2}\left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{\nu }} \right) {{S}_{\nu }}={{\alpha }_{1}}\frac{{{\lambda }^{\nu }}-1}{\lambda -1}

 

Λογάριθμοι

  • {{\log }_{a}}x=y\Leftrightarrow {{a}^{y}}=x
  • {{\log }_{a}}{{x}^{k}}=k{{\log }_{a}}x
  • {{a}^{{{\log }_{a}}x}}=x
  • {{\log }_{a}}a=1
  • {{\log }_{a}}1=0
  • {{\log }_{a}}(xy)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y
  • {{\log }_{a}}(\frac{x}{y})={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y
  • αν α>1. τότε {{\log }_{a}}x<{{\log }_{a}}y\,\Leftrightarrow \,x<yαν 0<α<1. τότε {{\log }_{a}}x<{{\log }_{a}}y\,\Leftrightarrow \,x>y

 

 


Για να δείτε μια συνοπτική παρουσίαση των Κωνικών Τομών κάντε κλικ εδώ.