Πραγματικές συναρτήσεις (Πεδίο ορισμού)


Η έννοια της πραγματικής συνάρτησης

Έστω Α ένα υποσύνολο του R. Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)  f, με την οποία κάθε στοιχείο x ϵ A αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y. Το y ονομάζεται τιμή της  f  στο x και συμβολίζεται με f(x).
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: f:A\to R
Το πεδίο ορισμού Α συμβολίζεται και με {{D}_{f}}ενώ το σύνολο τιμών f\left( A \right).

Όταν δίνεται η συνάρτηση f:A\to \Beta, τότε το σύνολο τιμών δεν ταυτίζεται με το Β αλλά αποτελεί υποσύνολο του.

f
g
h

 

f g h

Από τις τρείς παραπάνω συναρτήσεις:

  • Η f δεν είναι συνάρτηση διότι υπάρχει στοιχείο του πεδίου ορισμού που δεν αντιστοιχεί πουθενά.
  • Η g επίσης δεν είναι συνάρτηση διότι υπά5ρχει στοιχείο του πεδίου ορισμού που αντιστοιχεί σε δύο στοιχεία του συνόλου τιμών.
  • Στην h συμβαίνει το αντίστροφο της g. Δύο στοιχεία του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο του συνόλου τιμών. Αυτό επιτρέπεται άρα η h είναι συνάρτηση.

Πολύ συχνά η αντιστοιχία των στοιχείων μιας συνάρτησης μπορεί να περιγραφεί  με τύπο. Έτσι αν έχουμε f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9 κοκ , ο τύπος της συνάρτησης είναι f(x)=x2.

Συντομογραφία συνάρτησης

Σε μια συνάρτηση στην οποία δεν δίνεται το πεδίο ορισμού θα πρέπει εμείς να το προσδιορίζουμε. Σε αυτή την περίπτωση το πεδίο ορισμού είναι το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται,   Ειδικότερα:

Συνάρτηση Πεδίο ορισμού
Πολυωνυμική ή τριγωνομετρική R
Ρητή Το R εκτός από τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.
Άρρητη Όλες οι τιμές για τις οποίες η υπόριζος ποσότητα είναι μεγαλύτερη ή ίση του μηδενός.
Εκθετική R
Λογαριθμική Όλες οι τιμές για τις οποίες η ποσότητα στον λογάριθμο να είναι θετική.
Ημίτονο ή συνημίτονο R
Εφαπτομένη R-\{\frac{\pi }{2}+\kappa \pi ,\,\,\kappa \in \Zeta \}
Συνεφαπτομένη R-\{\kappa \pi ,\,\,\,\kappa \in \Zeta \}

 

Ασκήσεις βιβλίου

Α1, Α4, Α5, Β2, Β4 (σελίδα 27).

Ασκήσεις εκτός βιβλίου

Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων:

  1. f(x)=\frac{(x-1)(x+2)}{(x+1)(x+2)}  (Λύση A=R-\{-1,-2\})
  2. f(x)=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+9}                 (Λύση A=R)
  3. f(x)=\ln ({{x}^{2}}-6x+9)                 (Λύση A=R-\{3\})
  4. f(x)=\frac{5x}{x-1}+\frac{\sqrt{x+2}}{x+1}                 (Λύση A=[-2,-1)\cup (-1,1)\cup (1,+\infty ))
  5. f(x)=\ln (x+5)+\sqrt{3-x}                 (Λύση A=(-5,3])
  6. f(x)=\left\{ \begin{matrix} 2\sigma \upsilon \nu (5x),\,\,\gamma \iota \alpha \,\,x\in [-5,2]\,\,  \\  2{{x}^{2}}+1,\,\,\,\,\,\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,x\in (2,10]\,\,  \\  -x-4,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,x\in (20,25]\,\,  \\  \end{matrix} \right.      (Λύση A=[-5,10]\cup (20,25])
  7. f(x)=\sqrt{{{4}^{x}}-9\cdot {{2}^{x}}+8}                 (Λύση A=(-\infty ,0]\cup [3,+\infty ))
  8. f(x)=\frac{{{e}^{x}}-2}{{{e}^{2x}}-{{e}^{x}}-2}  (Λύση A=R-\{\ln 2\})
  9. f(x)=\ln \left( \frac{(x-1)}{(x+3)(x-3)} \right)                 (Λύση A=(-3,1)\cup (3,+\infty ))
  10. f(x)=2{{x}^{2}}+3\varepsilon \varphi (3x) (Λύση A=R-\{\frac{\pi }{6}+\kappa \pi /\kappa \in \Zeta \})

 

Βρείτε το \kappa \in R , ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το R:

  1. f(x)=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+5}}{{{({{\kappa }^{2}}+1)}^{2}}{{x}^{2}}-4\kappa x+1}                    (Λύση \kappa \in R-\{-1,1\})
  2. f(x)=\frac{\sqrt{3{{x}^{2}}+2}}{{{x}^{2}}+\kappa x+2\kappa }                                          (Λύση \kappa \in (0,8))